fórmulas de transformación bidimensional

¿Qué es la transformación bidimensional?

La transformación bidimensional es un procedimiento para calcular nuevas posiciones de puntos en un objeto, cambiando su tamaño y orientación. Las operaciones básicas de transformación son la traslación, el escalado y la rotación. Es importante mencionar que la composición de transformaciones se realiza mediante la multiplicación de las matrices de transformación correspondientes.

A continuación, se describen brevemente estas operaciones:

Traslación:

Se aplica una transformación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Se realiza una traslación de un punto sencillo de coordenadas, mediante la inclusión de compensaciones en sus propias coordenadas, para generar una nueva posición de coordenadas.

X′=X+d x

y′=y+dy

Ejemplo: 

Supongamos que queremos trasladar un punto P(x,y) dx unidades paralelamente al eje xy dy unidades paralelamente al eje y. Para ello, utilizamos las fórmulas de traslación:

Por ejemplo, si tenemos el punto P(2,3) y queremos trasladarlo 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, entonces:

Por lo tanto, el nuevo punto trasladado es P'(6,5).

Escalamiento:
Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalamiento. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de escalada sxysy para producir las coordenadas transformadas (x', y'). Dependiendo del factor de escalada, el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor o menor en su segmento de longitud.

X′=SX​⋅X

y′=Sy​⋅y

Ejemplo:
Supongamos que queremos escalar un objeto por un factor de 2 en el eje xy un factor de 3 en el eje y. Para ello, utilizamos las fórmulas de escalamiento:

Por ejemplo, si tenemos el punto P(2,3) y queremos escalarlo por un factor de 2 en el eje xy un factor de 3 en el eje y, entonces:

Por lo tanto, el nuevo punto escalado es P'(4,9).

Rotación: 

Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. Para generar una rotación, se especifica un ángulo de rotación θ y la posición (xr, yr) del punto de rotación (o punto pivote) en torno al cual se gira el objeto
La composición de transformaciones bidimensionales consiste en la mezcla de las transformaciones básicas como son traslación, sesgado y escalado. Notemos que no mencionamos la rotación como una transformación básica, esta es en realidad la combinación de escalado y sesgado. Las transformaciones se representan mediante una matriz de tres por tres.

Donde (x,y) son las coordenadas del punto a rotar, (x1,y1) son las coordenadas del punto de rotación y θ es el ángulo de rotación en sentido antihorario.

Ejemplo

Supongamos que queremos rotar un objeto en un ángulo de 45 grados con respecto al punto P1(2,3). Para ello, utilizamos la fórmula de rotación:

Donde θ es el ángulo de rotación en sentido antihorario. En este caso, θ = 45 grados, por lo que:

Por lo tanto, la matriz de rotación es:

Si tenemos el punto P(4,5), entonces:

Por lo tanto, el nuevo punto rotado es:

Por lo tanto, el nuevo punto rotado es P'(2√2 + 2, 2√2 + 3).

En conclusión, las fórmulas de transformación bidimensional son herramientas matemáticas que permiten realizar operaciones de traslación, escalado y rotación en objetos en un plano de dos dimensiones. Estas fórmulas se expresan mediante matrices de tres por tres y se utilizan para calcular nuevas posiciones de puntos en un objeto, cambiando su tamaño y orientación. La composición de transformaciones se realiza mediante la multiplicación de las matrices de transformación correspondientes. Las fórmulas de transformación bidimensional son ampliamente utilizadas en la computación gráfica y en la creación de animaciones, entre otras aplicaciones.